Математика в огне. Нескучный неучебник

Если вам не давалась математика, возможно, дело было не в вас, а в том, как вам ее преподносили.

 

Эту книгу можно назвать провокацией. Предложенный подход к изучению математики меняет привычное представление о ней как о скучной и абстрактной дисциплине, которую нужно просто вызубрить. Автор вместе с читателем создает математическую вселенную, увлекательную и увлекающую. Он не постулирует математические концепции, а постепенно выводит их из нашего понимания окружающего мира.

 

По мнению Джейсона Уилкса, система образования блестяще сконструирована, чтобы наказывать творческие способности; чтобы учить, как правильно писать математические символы, а не думать самостоятельно.

 

Его книга будет для вас умным и немного безумным учителем, который поможет дойти до открытий и определений самостоятельно, а не заучивать их.

 

Важное замечание: эта книга может стать прекрасным дополнением к любому стандартному учебнику, но не заменить его!

 

По мере чтения этой книги моя первоначальная предубежденность (вызванная во многом молодостью автора) постепенно улетучивалась — я в каждом месте понимал, что автор делает, чего именно он здесь добивается от читателя и какие средства для этого использует.

 

Наверное, примерно такое же ощущение возникает у профессионального музыканта, когда он слушает исполнение хорошо известной ему мелодии на совершенно новом инструменте. Да, можно виртуозно и с новыми интонациями сыграть «Каприсы» Паганини на скрипке, но это все равно будут «Каприсы» Паганини для скрипки. А вот сыграть их на губной гармошке (если это вообще осуществимо) — сразу и однозначно «ух ты!».

 

Так и здесь. Автор поставил перед собой очень амбициозную цель вместе с читателем заново сотворить математический анализ. Нельзя сказать, что у него все вышло идеально чисто. В некоторых местах ощущается рваный темп, в некоторых — грубоватое исполнение, но в целом мелодия узнается и музыкант практически не фальшивит.

 

Я бы рекомендовал эту книгу для чтения всем, кто хочет уловить скрытую музыку в математическом анализе — во всех этих бесконечно малых и бесконечно больших величинах, — но не хочет погружаться при этом ни в бесконечные леммы-теоремы, ни в занудные доказательства и вычисления. Это у автора получилось. Он добровольно выбрал не самый стандартный инструмент для погружения читателя в матанализ, но свои аплодисменты в конце концерта заслужил.

 

Авторский текст математически корректен. Его отличие от общепринятого (точнее, стандартного) стиля учебных пособий — в постоянном диалоге с читателем, причем как с Читателем, который наряду с Автором является «героем» книги (если так вообще можно сказать про научно-популярную литературу), так и с читателем, который эту книгу читает. Это хорошее качество книги — она настраивает не на пассивное чтение, а на постоянное обдумывание прочитанного.

 

 

Эту книгу крайне легко понять неправильно, если кто-то возьмется за нее как за учебник математики, хотя у нее есть многие общие черты с учебниками математики, и ее действительно можно использовать в таком качестве. Чтобы понять цель и структуру этой книги, мне сначала придется ввести новый термин, которого сейчас в нашей лексике не хватает: пред-математика. Под «пред-математикой» я не подразумеваю скучные предметы, такие как «начала алгебры» или «введение в анализ», которыми мы причиняем боль ничего не подозревающим студентам. Нет, я буду использовать этот термин для всего комплекса идей, смешиваний, вопросов и мотиваций, которые занимают умы создателей математических понятий и которые заставляют их определять и испытывать одни виды математических объектов, а не другие.

 

Например, определение производной и различные теоремы, которые из него следуют, являются естественной частью математики, и их можно найти в любом учебнике, включающем анализ. Гораздо реже уделяется достаточно внимания причинам, почему это понятие определено именно так, а не любым из бесконечного множества других способов, которыми оно может быть определено, а также ходу рассуждений, которые побудили к выбору этого стандартного определения из всех других кандидатов (при отсутствии предварительно имеющегося учебника математики). Именно к этому комплексу возможностей и процессов рассуждений и относится термин «пред-математика». Пред-математика включает не только все альтернативные определения математических понятий, которые привели бы в целом к сходным формальным теориям, но и (что, возможно, более важно) все тупики, которые посетил бы этот человек в попытках придумать «с нуля» стандартные математические определения и теоремы. Это нелегкая работа, которую нужно проделать, чтобы математическое понятие возникло из небытия. Математика — это колбаса; пред-математика — это как колбаса сделана.

 

Вот главная тема моей книги: редко обсуждаемый процесс движения от размытого и качественного к точному и количественному, или, другими словами, как изобрести математику для себя. Под «изобретением» я понимаю не только создание новых математических понятий, но и более нужный процесс изучения того, как заново изобретать кусочки математики, которые уже были изобретены кем-то другим. Таким образом вы получите более глубокое, более «интуитивное» понимание этих понятий, которые можно приобрести просто при чтении стандартного учебника.

 

Это книга для школьников, преподавателей (особенно тех, кто хочет вести занятия ярко и интересно), преподавателей математических кружков и всех, кого интересует математика и нестандартные подходы к науке и преподаванию.

 

У меня была тройка по начальной алгебре. Все, чему я научился, — ненавидеть слово «полиномиальный». У меня была тройка по тригонометрии. Все, чему я научился, — ненавидеть слова «синус», «косинус» и «гипотенуза». Математика была исключительно запоминанием, скукой и деспотичной властью.

 

Математика — это целый мир, в котором нет ничего случайного и где ум может обучать себя с интенсивностью и четкостью, которых не даст никакой другой предмет. По ходу обучения своего ума вы попутно изучите предмет, который — так уж сложилось — описывает все в мире.

 

Все законы алгебры можно представлять себе сокращениями простых визуальных идей. Например, факт, что умножать можно в любом порядке (то есть ab = ba), просто говорит, что площадь прямоугольника не изменится, если опрокинуть его на другую сторону. Это называют «коммутативным законом умножения», чтобы напугать вас.

 

Задачи трудны только тогда, когда мы не знаем, что делать. В ином случае мы можем перейти на автопилот и расслабиться. Каждый из нас когда-нибудь терялся в незнакомом месте и пытался добраться домой. Чтобы это сделать, вы искали знакомое место, откуда найти путь было легко. Это как раз о математике!

 

Вероятно, вам рассказывали, чему равна площадь круга. Когда-то кто-то говорил вам, что площадь круга радиуса r равна πr², где π — это какое-то диковинное число, которое немного больше, чем 3. Забудьте это. Мы не изобретали этот факт, и интуитивно он 

 

Любую сложную систему (например, современный компьютер) можно представить как набор машин, накрытых единым корпусом. Вообразите, что мы подаем в эту большую машину число x. Если первая машина выплевывает 7, а вторая — 4, то все, что мы увидим — это как из большого корпуса появляется число 11.

 

Джейсон Уилкс — бакалавр математики, магистр математической физики. В настоящее время изучает эволюционную психологию в Калифорнийском Университете.